¿Acaso la realidad es como es porque calcula su propio
futuro, de forma similar a las matemáticas que nos ayudan a predecirlo? ¿Tal
vez conoce la solución general de sus propias ecuaciones, o más bien está
especializada en unas reglas de aplicación instantánea que respeta
escrupulosamente aunque no sepa por dónde va?
Cuando programamos en función del tiempo la ecuación de una
elipse, una parábola o una hipérbola, es evidente que dicha ecuación permite
calcular la posición en cualquier instante, como si representara una realidad
que ya está determinada. Pero también podemos programar la evolución de los
parámetros, calculando segundo a segundo sus dependencias dinámicas, y no
conocer en absoluto la ecuación a la que responde. En ese caso no sabemos si la
trayectoria se cerrará y se repetirá periódicamente, si perderá su origen o si
evolucionará sin rumbo predecible.
Lo que se persigue en este apartado es la simulación de una
realidad que no predice nada, una realidad ciega pero capaz de abrirse camino
hacia la estabilidad como si la ecuación de su futuro ya estuviera escrita. Con
otras palabras, se persigue programar una extrapolación del movimiento orbital
pero añadiendo un retardo en las correcciones de la distancia, y considerando
como distancia la que hay entre la masa menor y el centro de masas, es decir,
una gravedad retardada como la planteada en el apartado 1, para la que no se
conocen soluciones exactas. Después de todo, siempre nos queda el recurso de
imitar el comportamiento de la ciega realidad, y comprobar si los resultados
tienen suficiente parecido.
Por supuesto, una extrapolación repetitiva tiene que dar
lugar a errores que se acumulan, sin saber ciertamente si las desviaciones se deben
a dichos errores de cálculo o, en el peor de los casos, a errores de concepto
que no se corresponden con la realidad. En el mejor de los casos, y a pesar de
los errores que se acumulan, la respuesta debería ser como la esperada: Una
realidad que se corrige a sí misma aunque no sepa cómo lo hace.
Comenzaremos fijando una posición inicial coincidente con el
eje x y alejada del centro de masas
una distancia d0.
Fijaremos igualmente una velocidad inicial V0
sin componente radial, y por supuesto daremos cualquier valor a las masas M y m. Por lo tanto, la posición inicial será un perihelio o un afelio
dependiendo del valor asignado a la velocidad inicial.
Tal como se ha indicado en la figura, el origen de
referencia será el centro de masas porque la distancia r que nos importa es la que separa a la masa menor del centro de
masas, y es la que aparece elevada al cuadrado en el denominador de la
aceleración am.
Aplicaremos un retardo de transporte τ a la distancia, que en una primera
aproximación será lo que tardaría la luz en recorrer la distancia D entre las dos masas, que será
entonces D/c. Sin embargo
consideramos que la propagación real no es entre las dos masas sino entre una
de ellas y el centro de masas, donde estaría localizado el campo central que
resultaría de la superposición entre los dos campos. Como el retardo tiene que
ser el mismo, también será igual a la relación r/c’, siendo c’ la
verdadera velocidad de propagación.
Si nos preguntamos con qué velocidad se propagarían los
cambios de posición de la otra masa M, habría que recordar que no es eso lo que
importa, que es el tiempo de transporte lo que debe coincidir. Recordemos
también que la propagación es en realidad una expansión hasta alcanzar un radio
de enlace muchísimo más grande que la distancia real, lo que significa que
dicha expansión será prácticamente la misma en los dos campos, y si aceptamos
que existen reacciones reales entre los campos, los tiempos de transporte deben
hacerse iguales, lo mismo que sucedería con dos vehículos amarrados por muy
diferentes que fueran las velocidades que pueden desarrollar por separado.
Lo que
debe hacer el programa es básicamente calcular una nueva posición en intervalos
regulares de tiempo, que deben ser muy pequeños para reducir el error hasta un
límite despreciable, de modo que llamaremos Δt al tiempo
transcurrido entre dos actualizaciones consecutivas.
Esos intervalos de tiempo deben respetarse si el programa
controla un proceso real, pero en una simulación solo importará su valor a
efectos de cálculo, independientemente del tiempo real que transcurra entre dos
actualizaciones consecutivas. Por lo tanto no se necesita temporizar los
instantes de ejecución en los que se calcula nueva posición, repitiendo el
proceso una y otra vez sin pausas intermedias.
Puesto que se propagan variaciones de posición en dirección
radial (distancias al centro de masa), una vez fijada la distancia inicial d0 se puede definir en
cuántos intervalos de propagación vamos a dividir esa distancia, llamando n al número de intervalos. La distancia
que corresponde a un intervalo será igual a d0/n, y el tiempo de cada intervalo será Δt = (d0/n)/c’. Lógicamente, la velocidad c’ será
muy próxima a la velocidad de la luz, lo que significa que los incrementos de
tiempo serán muy pequeños y vamos a necesitar mucha potencia de cálculo si no
queremos consumir la paciencia esperando resultados.
Por ejemplo si fijamos 10 intervalos en el caso de la Tierra
y sabemos que el retardo de la luz es de 8 minutos aproximadamente, cada
intervalo sería de 0.8 minutos o 48 segundos. Como sabemos que tarda un año o
31536000 segundos en completar una órbita, al dividirlo entre 48 segundos
resulta que el programa necesitará calcular 657000 posiciones para completar
una sola órbita. Pero como lo que se busca es comprobar si la órbita tiende a
reducir su excentricidad, necesitaremos muchas repeticiones hasta verificar si
los resultados lo demuestran. Por lo tanto, se puede pensar que 3 o 4
intervalos bastarían. Nótese que este procedimiento asegura una dependencia
significativa del retardo de transporte, pues de otro modo podríamos utilizar
incrementos de tiempo demasiado grandes y no habría ni una sola corrección de
la distancia entre dos cálculos consecutivos de posición.
El problema fundamental es implementar el retardo de
transporte, necesitando una lista de datos que vayan corriendo como si fueran
el agua de un arroyo. Puesto que se debe retardar el valor de la distancia para
el cálculo de la aceleración, los datos a transportar serán las distancias que
se van obteniendo en cada ejecución. Cada vez que se determina una nueva
distancia, su valor se introduce en la lista por uno de sus extremos, y cada
vez que se calcula nueva aceleración se toma la distancia de la lista que sale
por el otro extremo. Eso es básicamente un retardo de transporte, pero en
nuestro caso no es tan sencillo…
Ciertamente, en cada Δt habrá una
propagación de las distancias listadas que será igual a c’·Δt, pero las separaciones entre
distancias propagadas no serán iguales aunque los Δt sí lo
sean, ya que la masa m estará
acercándose o alejándose con una determinada velocidad radial que llamaremos Vr, siendo positiva cuando se aleja.
Por lo tanto en cada intervalo Δt habrá un desplazamiento de m igual a Vr· Δt que deberá sumarse a la propagación
de la distancia anterior como si fuera un efecto doppler.
Hace
falta otra lista de propagación que registre las separaciones o “longitudes de
onda” entre las distancias que se propagan. Cada vez que se añade una nueva
distancia en la primera lista, se añade igualmente en la segunda lista una
“longitud de onda” λ = c’·Δt + Vr·Δt = (c’+Vr)·Δt.
En consecuencia con el párrafo anterior, una vez fijado el
número n de intervalos iniciales y
antes de comenzar el proceso de cálculo repetitivo, hay que cargar las dos
listas con n+1 datos entre los que
habrá n intervalos. Pero el problema
es que los datos a cargar deberían corresponder a instantes de tiempo pasados,
ya que son datos “retardados”. Eso significa que se debe comenzar con valores
aproximados y la mejor forma de conseguirlo es comenzar en un perihelio o en un
afelio, ya que la distancia y velocidad tendrán la menor variación posible. Por
lo tanto se puede comenzar añadiendo n+1
distancias iguales a d0,
y n+1 longitudes de onda iguales a d0/n. Puesto que los
retardos iniciales tendrán un cierto error, las primeras posiciones que se
calculen podrían quedar ligeramente desajustadas, pero eso no será problema si
no se tienen en cuenta.
La siguiente figura es un ejemplo del significado de
distancias retardadas (r0
a r5) y longitudes de
onda (λ0 a λ5), coincidiendo r0 con la distancia actual al
centro de masas y el resto serán distancias anteriores. En este esquema está la
clave para comenzar el proceso repetitivo de los cálculos de posiciones, pero
antes deben haberse definido las variables de posición x = d0 e y = 0,
lo mismo que la velocidad radial Vr = 0
y la tangencial Vt = V0,
y lo mismo que una distancia actual r =
d0 y una distancia anterior r’
= d0 al comenzar.
De momento ya tendremos las dos listas de propagación de
datos, cargadas con los n+1 datos como se ha explicado anteriormente,
comenzando ahora el bucle de cálculos de posición que se repetirá hasta que se
decida detener el proceso. No se mencionarán los requisitos necesarios para la
representación gráfica, opciones de control y otras consideraciones de
configuración, pues lo importante aquí no es más que dejar constancia del
procedimiento de cálculo, que es lo que se pone a prueba y lo que pudiera ser
motivo de discrepancias y cambios.
Inicio del bucle de cálculos de
posición…
En primer lugar se irán leyendo y sumando longitudes de onda
comenzando por la última guardada en la lista (λ0), hasta que la suma acumulada sea mayor o igual que
la distancia actual (r). En el
ejemplo de la figura anterior serían λ0+λ1+λ2+λ3+λ4,
de modo que el índice que apunta al último dato leído sería i = 4. En general, el centro de masa CM
no coincidirá exactamente con la suma de longitudes de onda porque éstas varían
dependiendo de la velocidad de la masa m, y por esa razón ha sido necesario
sumar una por una hasta llegar o sobrepasar el centro de masas.
Por la misma razón, la distancia que se ha propagado con
velocidad c’ hasta el centro de masas no coincidirá exactamente con el dato
número i, por lo que habrá que
interpolar con las distancia i e i+1, que en el ejemplo serían r4 y r5. Así se calcula el incremento de r que vemos en la
figura anterior, y que sumado a la distancia i+1 determina la distancia rx
que estaría llegando al centro de masas en el instante actual.
El valor rx
es la distancia corregida con retraso que se debe aplicar para determinar la
aceleración actual de la masa m, tal como se indicaba con la ecuación 25, es
decir, rx es lo mismo que
r(t- τ) de la ecuación 25, por lo que ya se puede calcular am como aceleración radial
de la masa m, pues entendemos que no existe aceleración tangencial.
Los datos de las listas de propagación (distancias
retardadas y longitudes de onda) que ya se han utilizado para calcular la
aceleración se deberían borrar para que dejen de ocupar memoria, pues ya
sabemos que hacen falta muchos millones de ellos para calcular solamente unas
pocas órbitas completas. Si no se borran terminarían provocando problemas de
memoria o ralentizarían mucho el programa. Por lo tanto, si el número de datos
almacenados alcanza o supera el índice i+2,
por ejemplo, entonces borraremos los datos i+2
de las dos listas. Como esto se ejecuta en cada repetición del bucle, siempre
quedarán eliminados los datos que ya no son necesarios.
La aceleración debería ser negativa si consideramos que
apunta hacia el centro de masas, pero habiéndola calculado como un valor
positivo habrá que utilizar signo menos para calcular la nueva velocidad radial
como se indica seguidamente. La velocidad tangencial no se ve modificada porque
no existe aceleración tangencial, de modo que ya se pueden calcular los
incrementos de distancia en dirección radial (Δdr) y en dirección tangencial (Δdt). Por
simple proporcionalidad se obtienen los segmentos a, b, c y d, y a partir de ellos se calculan las nuevas coordenadas de
posición x’ e y’.
La distancia r
habrá cambiado porque se ha calculado una nueva posición, de modo que la nueva
distancia es la raíz cuadrada que se ha indicado en la figura anterior. Pero
antes de hacerlo hay que registrar su valor como distancia anterior r’, ya que de no hacerlo se perdería y
veremos que se necesita consultar un poco más adelante.
Haber calculado la nueva posición y distancia no basta, pues
resulta evidente que un cambio de posición implica una variación del ángulo φ,
modificándose la dirección radial y la dirección tangencial. Por ello la
velocidad radial y la velocidad tangencial ya no pueden ser correctas, lo que
significa que se debe determinar la proyección del vector velocidad sobre las
nuevas direcciones radial y tangencial. El módulo de la velocidad V se
determina lógicamente como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus
componentes radial y tangencial, tal como se indica en la siguiente figura.
Pero esa misma velocidad V se proyecta ahora sobre las
nuevas direcciones, y para ello se multiplica escalarmente por los vectores
unitarios en las nuevas direcciones radial y tangencial. Nótese que la
velocidad tangencial no es modificada por la aceleración radial, pero las variaciones
angulares hacen que cambie la dirección radial, afectando a la velocidad
tangencial. Los resultados son las nuevas proyecciones de la velocidad que
servirán para la siguiente ejecución del bucle de cálculo, por lo que deben
actualizarse las velocidades Vr = V’r
y Vt = V’t.
Ya solo falta introducir los nuevos datos de propagación en
sus correspondientes listas, de modo que debe insertarse el valor de la
distancia r en la posición 0 de la
lista de distancias retardadas, ya que se consideró que el primero de los datos
(r0) sería el
correspondiente a la distancia actual. Igualmente, en la posición 0 de la lista
de longitudes de onda debe insertarse la separación entre los datos de
distancia anterior y actual… Puesto que el dato de la distancia anterior se
habrá propagado c’·Δt, pero la masa m habrá recorrido la diferencia entre
distancia actual y anterior (r-r’),
entonces la separación entre los datos de distancia debe ser λ = c’·Δt + (r-r’), que será el valor a insertar en posición 0 de la lista de
longitudes de onda.
…Fin del bucle de cálculos de
posición.
Con esto finalizan los cálculos necesarios para determinar
paso a paso una órbita con retardo de transporte, muy parecida a cualquier
órbita de Newton pero supuestamente capaz de corregir su excentricidad aunque
no existan influencias exteriores. También debería responder a una gravedad más
intensa que la de Newton a medida que la relación entre masas se aproxime a la
unidad. Todo esto se probará un poco más adelante, pero sería difícil hacerlo
si no se añade un cálculo paralelo de la correspondiente órbita newtoniana, en
lo que ahora nos ocuparemos.
Calcular una órbita de Newton resulta mucho más fácil, pero
como se trata de trazar la órbita respecto del centro de masa y no la relativa
respecto de la otra masa, pueden surgir algunas dudas que se deben aclarar
acerca del sistema de referencia. Efectivamente, un observador situado en el
centro de masa no vería la misma aceleración de la masa m que vería otro observador desde la masa M, y no por una simple cuestión de cambio de referencia que después
de todo es equivalente. Por estar alineados con m, los dos observadores verían el vector aceleración apuntando
hacia sí mismos, pero los módulos de dichas aceleraciones no serían iguales, lo
que significa que uno de los dos estaría equivocado. Es evidente que el
observador anclado en M debería
compensar su propia aceleración para medir correctamente la aceleración de la
otra masa. Al contrario, el centro de masa no tiene aceleración si el sistema
se puede considerar aislado, y la medida del observador ligado al centro de
masa sería correcta.
Por lo tanto, el cálculo de la aceleración que se ha hecho
para determinar la trayectoria ha sido correcto, porque presupone como
referencia el centro de masa y atribuye a dicha referencia la causa del movimiento.
En cambio, ahora se quiere mantener el centro de masa como referencia, pero
Newton atribuye la causa del movimiento de m
a la otra masa… ¿Debe aplicarse algún tipo de compensación a la fuerza de la
gravedad de Newton?
La respuesta es que no o que sí, todo depende de la
interpretación. Hace falta una compensación si entendemos que la distancia es
la que hay entre m y el centro de
masas, pero no hace falta si tomamos como distancia la que hay entre las dos
masas aunque no se corresponda con la referencia del centro de masas. Es más
fácil considerar siempre la distancia entre masas que suponer una masa reducida
que no es cierta, pero en todo caso se compensa masa o se compensa distancia,
en todo caso debemos corregir la gravedad de Newton para calcular correctamente
una órbita, y eso es extraño, porque se nos puede escapar una sospecha de que
algo falla con la gravedad de Newton.
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