13.- Estabilidad en los fenómenos oscilatorios.

El puente de Tacoma Narrows que vemos en la fotografía tenía resistencia suficiente para soportar fuertes vientos, pero al poco tiempo de su construcción se puso a oscilar hasta su destrucción por un viento moderado. Hacer que un puente se mantenga estable frente al viento es trabajo de ingenieros, pero el principio que nos permite comprender por qué oscila es tan simple como dar pequeños impulsos a un péndulo con la frecuencia justa. Si el péndulo disipa menos energía de la que almacena, oscilará pronto con amplitud apreciable aunque sea un objeto muy pesado y resistente.

La oscilación de los sistemas físicos es más bien la norma y no la excepción, y su respuesta puede ser tan errática como la mano de un enfermo de parkinson si no se domina su comportamiento oscilatorio. La estabilidad en un sistema regulado se puede estudiar en función de sus variables reales pero suele ser muy complejo, siendo mucho mejor descomponer el sistema en sus patrones de comportamiento naturales, algo así como una huella dactilar que identifica su respuesta sin que importe la naturaleza del sistema, ya sea mecánico, eléctrico, de fluidos o de cualquier otra índole.

La regulación de procesos no es materia de los físicos de partículas, pero es evidente que sus funciones de onda describen oscilaciones de algo. En este apartado se intentará demostrar que existen similitudes muy significativas entre partículas y la teoría de regulación, tanto que vale la pena observar a las partículas con el enfoque de una teoría tan extraordinaria en el estudio de la estabilidad. Veremos que se pueden aventurar algunas respuestas a preguntas que todavía no se sabe responder, respuestas que no serán seguras pero sí posibles pistas para intentar acercarnos a la escurridiza naturaleza de la materia.

En lugar de resolver las complicadas ecuaciones diferenciales que describen un sistema, se comienza transformando dichas ecuaciones en otra ecuación de variable compleja conocida como “función de transferencia”. La transformación se conoce como “transformada de Laplace” y convierte integrales y derivadas en sencillos polinomios. La función de transferencia es un cociente de polinomios cuyas soluciones o raíces tienen representación gráfica en el plano complejo, con un eje real y otro imaginario. A las raíces del numerador las llamamos “ceros” y a las raíces del denominador las llamamos “polos”. Ese conjunto de polos y ceros, que solo son puntos en el plano complejo, aportan toda la información necesaria sobre cómo se comportará el sistema y sobre la forma de regularlo, son como la huella dactilar de su estabilidad.

Aunque no se necesita resolver las ecuaciones diferenciales del sistema, solo su planteamiento ya suele ser un reto en muchos sistemas reales, pero afortunadamente existe un método experimental que permite obtener la función de transferencia, básicamente midiendo amplitudes de oscilación para muchas frecuencias con las que se hace oscilar al sistema. La relación entre las amplitudes de oscilación que medimos y que aplicamos se conoce como “ganancia” (su logaritmo multiplicado por 20 es el módulo MdB en la figura), y su representación para muchas frecuencias permite distinguir a qué frecuencias (como ωn) aparecen cambios importantes en la ganancia, es decir, de qué forma afecta la frecuencia en la capacidad de respuesta del sistema. Las frecuencias en las que se observan cambios importantes en la pendiente de la ganancia (como ωn) permiten determinar los polos y ceros de la función de transferencia.

Como se ha visto en la figura, un componente o sistema suele perder ganancia (o módulo MdB) a medida que aumenta la frecuencia con la que es obligado a oscilar, es decir, pierde capacidad de respuesta cuanto mayor sea la frecuencia. Esa es la razón por la que una emisión de radio de alta frecuencia es de menor alcance que otra de baja frecuencia, ya que es absorbida fácilmente por cualquier cosa material que, no siendo capaz de vibrar en sintonía, disipa energía como un péndulo al que se aplican empujoncitos con una frecuencia inadecuada, muchos de los empujoncitos frenan al péndulo en lugar de aportarle mayor energía o, a la inversa, el péndulo consume la energía de los empujoncitos que llegan a destiempo, lo mismo que hacen los objetos con una señal de frecuencia muy alta.

Las caídas bruscas en la pendiente del módulo o amplitud se corresponden con polos de la función de transferencia, mientras que los ceros se corresponden con aumentos bruscos de la pendiente. Por lo tanto, los polos identifican comportamientos lentos, retrasos y pérdidas en la capacidad de respuesta, y los ceros todo lo contrario.

En los polos y ceros está la clave para comprender la estabilidad de un sistema porque dependen de sus frecuencias naturales. Su obtención experimental no es tan simple como se ha descrito porque los cambios no se detectan con facilidad, pero al representar las frecuencias y las ganancias de amplitud en escala logarítmica se observa que las representaciones tienden a ser líneas rectas, y allí donde presentan un cambio de inclinación estará una de las frecuencias buscadas.

Como se ha dicho, los ceros y polos son las soluciones o raíces de los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia, es decir, los valores de la variable que hacen alguno de los polinomios igual a cero. Si una raíz es real estará representada en el eje real, y si es compleja tendrá una parte real y otra imaginaria, siendo sus valores las coordenadas que lo posicionan en el plano complejo. Además, las raíces complejas aparecen siempre por parejas conjugadas, simétricas respecto del eje real.

La primera similitud entre partículas y la teoría de regulación salta a la vista, tanto una función de onda como una función de transferencia son de variable compleja, y en los dos casos parece imposible comprender lo que significa y por qué funcionan tan bien. El significado original de las funciones de onda fue trastocado a favor de probabilidades, con ello se intentó aparcar para siempre la relación entre partículas y lo imaginario. Una función de transferencia no es equivalente a una función de onda, pero si las partículas oscilan debería existir una función de transferencia que describa su estabilidad, lo mismo que una función de onda describe las características que diferencian a unas de otras.

¿Qué significa que la estabilidad sea de variable compleja? En principio, ya sabemos que la transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en una función de transferencia, pero las ecuaciones diferenciales responden a la mecánica clásica, con masas, velocidades y aceleraciones, fuerzas, momentos, caudales, posiciones o cualquier otro tipo de variables físicas. La función de transferencia que resulta de la transformación de Laplace es como una síntesis que prescinde de información irrelevante, quedando solo raíces en un dominio de frecuencias que también es propio de las ondas.

Tal vez, la función de transferencia es como una descripción de la naturaleza más primitiva de la materia, tal vez los sistemas físicos oscilan porque su verdadera naturaleza es ondulatoria, y la función de transferencia los describe en ese contexto deslocalizado, donde no existen distancias, donde solo hay patrones de oscilación y resonancias, patrones similares, opuestos, complementarios…, pero siempre superpuestos en una realidad sin dimensiones y en la que todo es simultáneo, deslocalizado en el espacio y en el tiempo.

Lo mismo que una función de onda se puede alterar para obtener información sobre una propiedad concreta, como por ejemplo la posición, una función de transferencia también puede devolver la información original aplicando la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si la variable regulada es una posición, la transformada inversa devuelve al sistema a su contexto inicial, devuelve la posición en el dominio del tiempo.

Veamos el significado de las raíces (polos y ceros) de una función de transferencia con el siguiente ejemplo, donde los puntos 1 y 2 son polos y el punto 3 es un cero, los tres reales (sin parte imaginaria). Al contrario, la pareja de polos (4) y la de ceros (5) tienen parte real y parte imaginaria, es decir, tienen proyección en el eje real sigma y proyección en el eje imaginario omega. El módulo de una raíz conjugada como el punto (4) se corresponde con una frecuencia natural de oscilación del sistema, indicada como ωn en la figura.

La frecuencia natural es casi lo mismo que una frecuencia de resonancia, a la cuál experimenta un aumento en la amplitud de oscilación, lo mismo que un péndulo cuando le damos pequeños empujoncitos con una frecuencia muy concreta. Si la frecuencia es diferente, parte de la energía se invierte en frenarlo porque muchos de los empujoncitos llegarán en un momento inoportuno, desfasados.

Cuando un sistema disipa muy poca energía, al someterlo a una de sus frecuencias de resonancia se produce un aumento muy grande en la amplitud de oscilación (un pico de resonancia), y puede llegar a destruirse porque acumula más energía de la que pierde, lo mismo que sucedió con el puente de Tacoma Narrows. Para frecuencias mayores que la de oscilación natural, ya sabemos que la ganancia del sistema incrementa su caída, perdiendo capacidad de respuesta de forma más acusada.

La frecuencia natural ωn, que es el módulo del polo complejo, tiene una proyección real como ω₄ que se conoce como frecuencia natural amortiguada, mientras que ωn es la frecuencia natural no amortiguada. El coseno del ángulo beta es la relación de amortiguamiento, y puede variar entre 1 y 0. Si vale 1 entonces solo hay parte real y los dos polos son una raíz doble pero real. A medida que se acerca a 0, a la vez que beta se acerca a 90º, el amortiguamiento disminuye porque disipa menos energía y aumentará el pico de resonancia. Si alcanza el valor 0 estará en el eje imaginario y será capaz de mantener la oscilación aunque no se aporte energía al sistema. Por lo tanto, cuanto más cerca se encuentre una raíz del eje imaginario, más cerca estará de ser inestable porque tendrá menos capacidad para reducir las oscilaciones. Las raíces que estén en el eje imaginario o a su derecha serán propias de comportamientos inestables. Acercarse al eje imaginario es ganar capacidad para absorber energía y, por lo tanto, perder estabilidad.

Cuando se trata de una pareja de ceros conjugados, la frecuencia natural correspondiente no amplifica oscilaciones sino que las reduce, es un comportamiento inverso al de polos conjugados. Igualmente, para frecuencias mayores la ganancia reducirá su caída o puede que incluso llegue a tener pendiente positiva. Un sistema en el que la ganancia sea creciente con el aumento de frecuencia, sin otras frecuencias naturales que vuelvan a reducir la ganancia, será un sistema inestable, porque siempre habrá perturbaciones de alta frecuencia que serán amplificadas por el sistema, hasta su destrucción. Por ejemplo, toda señal de radio tendrá lo que llamamos “ruido”, interferencias de alta frecuencia que distorsionan la señal como pequeños dientes de sierra. Si el aparato receptor tiene demasiados ceros, tendrá demasiada ganancia para frecuencias altas y amplificará el ruido. Al contrario, si la ganancia del receptor solo es alta para las frecuencias de las emisoras pero muy baja con altas frecuencias, entonces el ruido será disipado porque solo responde a frecuencias bajas, con las que sintoniza por el efecto de resonancia.

Por último, los polos y ceros reales como los puntos 1, 2 y 3 de la figura anterior, corresponden a los mismos comportamientos que si fueran raíces conjugadas pero con cambios menores en la pendiente de la ganancia, además de que no presentan efecto de resonancia, es decir, no hay pico de amplificación de ganancia a la frecuencia en la que cambia su pendiente. Otra diferencia muy importante es que las raíces reales son comportamientos que no presentan tendencia a oscilar, al contrario de lo que sucede con raíces complejas y conjugadas.

Solo se han descrito los comportamientos básicos que describen a un sistema, pero el resultado de todos ellos no es una suma, como podría suponerse. De los 5 comportamientos del ejemplo anterior, los polos de marca (4) definen el que mayor energía puede aportar al sistema porque están más cerca del eje imaginario, llegando a dominar la respuesta y enmascarando a los demás, como si no existieran.

Como se ha indicado en la figura anterior, una consigna (U) establece el valor al que debe llegar la variable regulada (Y), cuya medida se realimenta para restarse a la consigna. La diferencia es equivalente al error de regulación, que será lo que falta o lo que sobra para que la variable regulada alcance el valor esperado que marca la consigna. El sistema y el factor de ganancia (G) se encargan entonces de procesar el error de regulación, de forma que cuanto mayor sea el error también será mayor la reacción y más rápido se acercará al valor de consigna, hasta que el error se anule.

Pero el resultado de cerrar el lazo de control podría ser de inestabilidad, en cuyo caso no bastaría con una ganancia regulable sino que debería añadirse un regulador más complejo. En términos de polos y ceros, un regulador no es más que una ampliación del propio sistema a regular, nuevos polos y ceros que se mezclan con los polos y ceros del sistema, haciendo que sistema y regulador se comporten como un solo sistema, un poco más complejo pero indivisible, ya que las trayectorias como las dibujadas en la figura anterior enlazarán raíces del sistema con raíces del regulador.

En el contexto de la estabilidad, un sistema y su regulador no pueden estudiarse por separado, lo que significa que un buen regulador para un sistema concreto puede ser muy malo en otro, aunque las diferencias puedan ser muy pequeñas entre los dos sistemas. Adicionalmente, el mismo dispositivo de medida también tiene su propio comportamiento por separado, pero tampoco se puede aislar del conjunto porque forma parte del mismo lazo. ¿No recuerda esto el entrelazamiento y la falta de localidad en mecánica cuántica? ¿No recuerda un todo que no se puede entender como la suma de sus partes?

Cuando se cierra el lazo de regulación, los polos de la función de transferencia de lazo cerrado son los que dibujan trayectorias a medida que aumenta la ganancia regulable, como las que pueden verse en la figura anterior. Aunque puede ser interesante, no vamos a describir las reglas de construcción de las trayectorias porque al final acabaríamos escribiendo un curso de regulación, que no es el objetivo.

Ya sabemos que los ceros aumentan la pendiente de la ganancia y los polos la disminuyen, y eso significa que el número de ceros nunca debe superar al de polos, pues entonces la ganancia siempre sería creciente a partir de la mayor frecuencia natural, siempre amplificaría cualquier perturbación de alta frecuencia y el sistema sería inestable. El número de polos debe ser menor que el número de ceros, así se diseñan los sistemas reales para estar seguros de que las frecuencias demasiado altas no los perturben. En el ejemplo de la figura anterior vemos que cada una de las trayectorias arranca desde un polo y finaliza en un cero, pero como hay un cero menos que polos, una de las trayectorias escapa del plano complejo en busca de un cero en el infinito, que en el ejemplo estaría en el lado izquierdo del eje real, infinitamente alejado.

Al cerrar el lazo de regulación en el ejemplo anterior, y aplicando una ganancia igual a 2.5, aparecen cuatro polos de lazo cerrado y dos de ellos son dominantes porque están más cerca del eje imaginario. Esos dos polos dominantes definen la respuesta del sistema, y la conclusión es que será estable porque no alcanzan al eje imaginario, aunque será una respuesta oscilatoria porque se trata de polos conjugados, con parte imaginaria. Cuanto mayor sea la parte real mayor será la relación de amortiguamiento y más pronto decrecerán las oscilaciones.

Curiosamente, si continuáramos aumentando la ganancia del ejemplo, los polos dominantes se alejarían más del eje imaginario, de forma que pasarían a ser dominantes los otros dos polos de lazo cerrado, al principio solo con parte real (sin oscilaciones en la respuesta) y después como polos conjugados pero con parte imaginaria pequeña, ya que nunca podrían rebasar a los ceros finales, cuya proyección en el eje imaginario es pequeña.

El sistema del ejemplo siempre será estable para cualquier valor de la ganancia, ya que las trayectorias nunca alcanzan ni sobrepasan al eje imaginario. Se ha conseguido la estabilidad pero… ¿gracias a qué? ¿Tal vez el mérito es de los polos conjugados de marca (4) por ser dominantes en lazo abierto?, ¡desde luego que no! El problema es lo bastante intrincado como para comprender que el mérito ha estado en la “colaboración” de todos los polos y ceros, en patrones de oscilación que han formado una organización más compleja pero estable.

Vale la pena insistir en que la respuesta de un sistema regulado no es la suma de respuestas en que se descompone. Solo la respuesta que mejor sintoniza con el entorno es la que domina, y aún así está definido por trayectorias entrelazadas que ligan al propio sistema con su entorno, haciéndolo indistinguible. Esas trayectorias o caminos entre polos y ceros definen comportamientos intermedios, y si atribuimos un signo a los polos y el signo contrario a los ceros habrá un punto en las trayectorias que será neutro, lo mismo que al sumar cargas eléctricas de distinto signo.

Es posible que se sumen las cargas eléctricas cuando se combinan, pero también es posible que no se trate de una suma sino de un comportamiento intermedio entre cargas opuestas que intentan dominar la respuesta. Cargas de signo opuesto podrían ser polos y ceros que intentan atraer hacia sí el comportamiento del conjunto, obligándole a posicionarse en un determinado punto de la trayectoria que los conecta.

            Esta idea se refuerza si recordamos que las partículas deben tener niveles de energía cuantizados, lo que se explica como ondas confinadas con una longitud de onda que debe ser  submúltiplo de la dimensión de su confinamiento, y eso da lugar a una onda estacionaria como la que podemos ver a continuación.

            Una onda estacionaria es algo que aparece y desaparece de forma intermitente, como una luz que parpadea, de forma que si alcanza su amplitud máxima cuando otra se anula… ¿cómo se podría entender? La que se deja sentir es la que domina, pero las dos pueden dominar la respuesta de forma intermitente, y el resultado solo puede ser algo intermedio como el amarillo que resulta de combinar luces rojas y verdes, o en nuestro caso como la partícula neutra que resulta de combinar dos cargas iguales y opuestas.

Dos ondas desfasadas medio ciclo se cancelan, como si no existiera ninguna de las dos, pero dos ondas estacionarias que se desfasan como se ha indicado solo se cancelan parcialmente, dando como resultado un patrón de oscilación intermedio y un poco de energía cancelada que podría entenderse como energía de enlace, o como la causa de que se atraigan las cargas opuestas de distinto signo. Si la combinación responde con menor energía, solo podría romperse si existe un aporte externo que devuelva la energía desaparecida.

También es posible la cancelación completa si las ondas estacionarias están desfasadas media secuencia de oscilación, y estaríamos hablando de materia y antimateria. Algo debe de existir que lo impide entre partículas de materia, porque es evidente que si los enlaces más estables son los que mayor energía desprenden, entonces la mitad de la materia debería convertirse en antimateria y quedar aniquilada con la otra mitad.

Si la suposición es correcta, cada partícula tendría que caer en uno de los dos estados elementales de vibración, como carga positiva o como carga negativa, como polo o como cero en el plano complejo de la estabilidad. Sabemos que los átomos estables tienen igual número de cargas positivas y negativas, lo que también concuerda con la exigencia de que no puede haber mayor número de ceros que de polos.

Otra similitud entre la teoría de regulación y las partículas la encontramos en el misterio de la antimateria… ¿dónde se encuentra si debería haberse creado en la misma cantidad que la materia? La hipótesis más aceptada es que la antimateria es un poco menos estable que la materia, al parecer demostrado con las antipartículas de los mesones B. En el ejemplo que vemos a continuación, también se confirma que no existe simetría cuando se intercambian los polos y los ceros de un sistema regulado, ya que vemos que para una ganancia igual a 2 en ambos casos, resulta ser más estable el de la izquierda porque los polos de lazo cerrado (que dominan la respuesta) estás más lejos del eje imaginario.

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