2.- Variable compleja y campos estacionarios.

Euler solía decir a sus pupilos que no sabía el significado de la ecuación que lleva su nombre, pero debía de ser algo muy importante. En realidad sí que sabía el significado, pero debemos entender que estaba expresando un sentimiento personal… ¿Por qué se relacionan de una forma tan sencilla unos números que son tan importantes en las matemáticas? Insistía tanto en la búsqueda de un significado que su identidad terminó conociéndose como la “ecuación más importante del mundo”.

Más de 200 años después, sabemos que la realidad está empeñada en dar la razón a Euler, pues resulta evidente que la naturaleza no prescinde de la variable compleja. El tiempo se considera como una cuarta dimensión, pero compleja, las funciones de onda esconden algo en una proyección imaginaria que todavía no se comprende, la estabilidad en los procesos físicos resulta mucho más fácil de analizar si los convertimos al contexto de variable compleja. Por desgracia todavía no hemos aprendido a reconocer por qué la naturaleza trabaja de esa forma. Al contrario, se inventaron los números complejos como una curiosidad matemática, y todavía sobrellevamos la sorpresa de que son imprescindibles en los campos más importantes de la ciencia.

La unidad imaginaria recibió ese adjetivo porque nadie le atribuyó realidad física, de modo que no es extraño el que ahora nos preguntemos qué significa un tiempo imaginario, o qué tienen de imaginario las partículas. No vamos a descubrir el significado de la ecuación más importante del mundo, pero lo que sí haremos en este apartado es buscar la razón por la que un campo estacionario funciona como una magnitud compleja, es decir, por qué surgen los números complejos de la realidad y no al contrario.

En la figura se muestra lo que sería un campo tensado hasta la superposición con un radio de enlace Re. Se ha resaltado un frente de onda con un punto “m_i“, cuya velocidad V se descompone en dirección radial Vr y en dirección del desplazamiento V_d. Nótese que las dos componentes de V solo serán perpendiculares en el punto marcado, pero en otros puntos de la onda no lo serán porque la dirección de Vr tiene que pasar por el centro de la onda que se expande, pues de otro modo ya no sería una velocidad radial. Hay que dejar claro que no estamos hablando de un frente de onda estacionario sino de una de las ondas generadoras del campo, y en el caso mostrado se expande. También suponemos que la velocidad con la que se propagan las ondas generadoras, ya sean de absorción o de emisión, es de un orden muy superior a cualquier propagación estacionaria, de forma que podemos considerar que el ángulo φ es infinitesimal.

Por debajo del radio de enlace solo hay intercambio de movimiento entre ondas del mismo campo, ya que las de otros campos causarán interferencias pero no reacciones. Como la corriente de expansión estará formada por las pérdidas en la corriente convergente, las dos tienen que ser idénticas, y si el campo se mantiene estable tendrán la misma cantidad de movimiento cuando se cruzan.

Si las ondas de un campo estacionario se propagan y tienen lo que se ha llamado masa primitiva, también deben tener una cantidad de movimiento que solo puede ser nula como magnitud vectorial, pero no será nula si acumulamos las cantidades que corresponden a cada fracción de onda, como una suma escalar. Es evidente que si hay un intercambio de movimiento con cada frente de onda que se cruza, solo puede ser extraído de la propagación radial de la onda, justamente lo que sería cero como magnitud vectorial.

Cuando el campo se tensa debido a una interacción, la cantidad de movimiento de cada onda tiene que modificar su distribución de velocidades, de forma que su cantidad acumulada como suma escalar siga siendo la misma, a costa de reducir su propagación radial pura y aumentar su movimiento en la dirección en que sea deformado el campo. Esto sería imposible si la onda no intercambia movimiento, pero si lo intercambia con otra onda idéntica y opuesta ya no hay problema, porque puede seguir siendo cero la suma de sus cantidades de movimiento como magnitud vectorial. Con estas aclaraciones ya podemos plantear lo que pasará con una onda si el campo no está tensado (lado izquierdo de la figura), o si lo está (en el centro de la figura). Cuando hay tensión, la velocidad V tiene que reducirse a un valor inferior Vr, pero añadiendo en cada fragmento de la onda una velocidad Vd en la dirección de la deformación del campo.

La velocidad Vx de un punto cualquiera, como el m_x de la figura anterior, se descompone en dirección de la deformación con velocidad Vd y en dirección radial como Vr, que a su vez se descompone en dos componentes (azul), una en la dirección de Vd y otra perpendicular. Se obtiene así una resultante Vx que no será completamente radial. El siguiente paso será determinar en cada caso las cantidades de movimiento de la onda, cuando el campo no está tensado y cuando sí lo está:

Se han tenido en cuenta elementos de superficie circulares (en rojo), en los que la velocidad es la misma en toda su extensión. Los radios de los elementos de superficie son el radio de onda por el seno del ángulo alfa, y al multiplicarlo por 2 y por Pi se obtiene su longitud. El ancho del anillo será el radio de la onda por diferencial de alfa, razón por la que aparece el radio de onda elevado al cuadrado. Igualando las dos cantidades de movimiento y desarrollando se llega a la expresión (1), cuya solución es real si la velocidad Vd es menor o igual que 0.866·V, tal como se indica en la representación gráfica.

Esto demuestra que es teóricamente posible un intercambio de movimiento, responsable de tensar los campos estacionarios y de su desplazamiento en el espacio. Además, el margen admisible no deja de ser notablemente generoso, nada menos que un 86.6% de la velocidad V, que es la velocidad máxima de las ondas generadoras del campo, cuando no está tensado ni se desplaza. Es un margen claramente generoso si entendemos que las ondas generadoras son mucho más rápidas que la luz.

De momento, cada frente de onda tendrá una velocidad Vd que se puede considerar como una proyección real, ya que se trata de un desplazamiento en una dirección real del espacio. Al contrario, no hay nada en la propagación radial que dé lugar a una resultante real, puesto que será cero la cantidad de movimiento resultante como magnitud vectorial, y será cero el desplazamiento resultante.

Si además tenemos en cuenta que será indetectable por tener una densidad ultra baja a partir de un minúsculo radio de onda, resulta que la propagación radial de un campo solo puede ser una magnitud escondida, como una especie de almacén que oculta o entrega actividad en una dirección real del espacio. La cuestión que ahora se plantea es entonces la siguiente: La actividad total de un campo o partícula, ¿es equivalente a una magnitud compleja?

Lo que sí se puede afirmar, de momento, es que la actividad total de un campo se proyecta en una dirección real y el resto se mantiene oculto en todas las direcciones a la vez, o en ninguna, según como se prefiera interpretar. También se puede decir que la proyección real debe ser extremadamente pequeña si el ángulo φ tiene que ser infinitesimal. Y así será si las ondas generadoras son mucho más rápidas que la luz, ya que toda variación del campo será entonces la suma de un incontable número de variaciones infinitesimales en las ondas generadoras.

Si la cantidad de movimiento de un campo es equivalente a una magnitud compleja, las velocidades Vr y Vd se deberían poder componer perpendicularmente, tal como podemos ver a continuación.

Claramente las ecuaciones 1 y 2 no son iguales, pero si el ángulo φ es infinitesimal como se ha dicho, entonces Vd será despreciable frente a V, las dos expresiones de Vr tienden a V, y sus derivadas respecto de Vd tienden a cero. En general, eso será cierto no solo cuando la referencia es el reposo y ausencia de tensión, también lo será en otras condiciones de referencia si trabajamos con variaciones relativas, siempre que Vd siga siendo mucho menor que V, ya que aunque se trate de un porcentaje de V muy pequeño, puede ser tan grande para nosotros como la velocidad de la luz.

Si las variaciones de las ondas generadoras son infinitesimales, pero se proyectan como una parte real y otra imaginaria, en dos direcciones perpendiculares, la suma de esas variaciones también lo hará, dando lugar a unas variaciones en el campo que ya no serán infinitesimales. Y si la cantidad de movimiento transferida y detectable resulta ser una magnitud compleja de módulo constante, el campo entero tendrá dos límites constantes: Se comportará como la luz en uno de los casos límite, invirtiendo todo su movimiento en propagación, o se comportará como algo en reposo absoluto en el otro caso límite, invirtiendo todo su movimiento en oscilaciones que no se propagan pero tan rápidas como la luz, marcando el mayor ritmo posible en eso que llamamos tiempo.

Velocidad y tiempo parecen ser dos manifestaciones de una cantidad de movimiento compleja y constante, y existen dos límites en los que toda la actividad se invierte por entero en movimiento real o en vibraciones radiales que marcan el ritmo con el que transcurre el tiempo.

Los campos estacionarios ocultan actividad como si existiera una cuarta dimensión, como si hubiera una dirección imaginaria perpendicular a las tres direcciones del espacio. Así sería matemáticamente, pero irreal, ya que la energía y actividad pueden estar ocupando el mismo espacio en el que solo reconocemos vacío.

Siguiente entrada.