17.- Fundamentos de relatividad general.

La relatividad general es fundamentalmente una teoría de la gravedad en la que Einstein aplica sus principios de relatividad especial, ampliando su validez al caso de sistemas acelerados. En esta teoría, el tiempo y las tres direcciones del espacio definen un espacio de 4 dimensiones que se curva por la presencia de grandes masas.

Lo que muestra la figura se puede imaginar como un espacio con dos dimensiones que se curva en una tercera dimensión, ya que se trata de una superficie que no es plana y necesita tres dimensiones para su representación. Nuestra imaginación se pierde rápidamente cuando entran en juego más dimensiones, pero las matemáticas permiten llegar más lejos, dejándonos una pregunta en el aire: ¿Existen realmente más dimensiones o solo se trata de una especie de analogía que funciona?

Aunque no se corresponde con la relatividad general, el ejemplo de la figura es lo más lejos que podemos llegar para imaginar por qué la curvatura del espacio-tiempo explica la gravedad. Una superficie tensada formaría un hoyo como el de la figura cuando ponemos encima una bola pesada, y si hacemos rodar otra bola más ligera seguiría una trayectoria muy similar a un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola, similares a las órbitas reales de los cuerpos celestes excepto en que la bola pierde pronto energía y termina cayendo al hoyo. No se necesitan fuerzas para seguir una órbita si el espacio está curvado.

En un espacio curvado la distancia más corta entre dos puntos no es un segmento recto. Es imposible imaginarlo con 4 dimensiones pero sencillo por ejemplo en el caso de una esfera, que es equivalente a un espacio curvado con solo dos dimensiones, pero cerrado sobre sí mismo en una tercera dimensión. Si marcamos dos puntos en una superficie curvada y trazamos el recorrido más corto sobre la superficie, la trayectoria se denomina “geodésica”, y el concepto es equivalente para cualquier número de dimensiones.

El mismo ejemplo de la superficie curvada en la tercera dimensión también es alimento para todos los que gusten de imaginar más allá de lo verificado, pero dentro de lo posible en relatividad general. Una “geodésica” sobre una superficie podría ser muy larga, pero los puntos de sus extremos podrían estar casi tocándose si los unimos en el espacio. Hipotéticamente, algo tan lejano como el otro extremo del Universo podría estar aquí mismo si metiéramos la cabeza en otras dimensiones. La figura muestra una deformación en un espacio curvado con dos dimensiones, un agujero que sirve de atajo para sortear el camino largo en la superficie original.

Pero la superficie original ya debería estar curvada para construir un camino más corto a través de un agujero. El espacio-tiempo del Universo ya debería tener suficiente curvatura para crear agujeros de corto recorrido, pero eso no va más allá de una mera suposición, como también sigue siendo teoría que la relatividad general signifique realmente lo que parece.

En teoría, un agujero negro curva el espacio-tiempo hasta el extremo de que se cierra sobre sí mismo, y lo que contiene desaparece de la realidad observable. Todo puede entrar pero nada sale, razón por la que también se imaginan agujeros blancos, en los que todo saldría pero nada entraría. Supuestamente, la conexión entre un agujero negro y un agujero blanco conectaría lejanos puntos del Universo, pero como atajo de un solo sentido al que suele llamarse agujero de gusano.

Según la relatividad especial no hay nada más rápido que la luz, pero en relatividad general se acepta que el espacio-tiempo sí puede deformarse más rápido, como un globo que se hincha y aumenta el espacio entre galaxias. Esta suposición fue necesaria para explicar por qué es tan homogéneo el Universo en todas las direcciones, tal como se constata por la radiación cósmica de fondo cuya procedencia es la más lejana en el espacio y en el tiempo, casi originada por el mismísimo Big-Bang.

La relatividad general está presente siempre que se habla de cosmología, ciencia con escaso fundamento hasta que se descubrió la radiación cósmica de fondo que ya se ha tratado en el apartado 11, donde se explica la teoría inflacionaria como una posibilidad muy razonable según la relatividad general. Si el Universo es tan grande que la luz no ha tenido tiempo para ir de lado a lado en toda su existencia, nadie se explica cómo puede ser tan similar lo más lejano que se observa en sentidos opuestos. Según se cuenta el Big-Bang pudo haber sido una explosión muchísimo más rápida que la luz, pero no una explosión de materia sino del espacio y el tiempo. De ese modo sería posible una transferencia tan rápida como para explicar el tamaño del Universo, y una forma de distribución homogénea de la materia y radiación originales.

Siguiendo con el hilo de una deformación tan rápida del espacio-tiempo, tampoco faltan los que suponen que si algún día lo permitiera la tecnología, sería posible la propagación de una onda que transportaría una deformación del espacio y el tiempo, y como las deformaciones desplazan a la materia, como el globo que se hincha, seríamos como surfistas transportados por una ola del espacio-tiempo que corre más rápido que la luz.

En el apartado del tiempo como magnitud física también se apuntaron diversas ideas relacionadas con la relatividad general, como por ejemplo la forma que pudiera tener el Universo como espacio de 4 dimensiones. Podría estar cerrado sobre sí mismo de forma equivalente a una superficie esférica, que sería un espacio curvado de dos dimensiones, o cerrado como el equivalente de una superficie tórica. Podría ser abierto como el equivalente de una superficie que no se cierra sobre sí misma, ya sea curvada o plana, o podría ser tan irregular como un material fibroso y retorcido, lleno de agujeros espaciotemporales que conectan lejanos puntos del espacio y lejanos puntos en el tiempo, unos del pasado y otros del futuro.

Los cosmólogos están desconcertados con la expansión acelerada del Universo, y por supuesto también tiene algo que decir la relatividad general. Einstein introdujo en sus ecuaciones una constante, a la que se ha llamado “constante cosmológica”, con el fin de hacer posible un Universo equilibrado que no se explicaba, es decir, un Universo que no se expande ni se contrae, eternamente estable.

Sin la constante cosmológica solo era posible una expansión frenada por la gravedad. Si la masa total no alcanzaba un cierto valor crítico, las galaxias llegarían a un punto muerto como la pelota que alcanza una altura máxima y vuelve al suelo. Si la masa fuera mayor que un valor crítico, entonces el Universo no dejaría nunca de expandirse, llegando a detenerse para un tiempo infinito o tal vez ni eso, pero en todo caso con velocidad que disminuye.

La constante cosmológica no afecta a la expansión de la materia sino a la expansión del espacio-tiempo, y puede ajustarse para compensar a la expansión de la materia, pero también se puede ajustar de forma que se acelere su expansión. Puesto que los cosmólogos apuestan por la expansión acelerada, la relatividad general y su constante cosmológica se han convertido en la opción más valorada. Pero esa constante se resiste con uñas y dientes a ser extraída del contexto de la relatividad general, ya que se hace infinito cuando se inserta en la gravedad cuántica y no se deja renormalizar, al contrario que los infinitos de la electrodinámica cuántica.

Recordemos que la relatividad especial trataba el tiempo como algo que corre con velocidad variable, que puede llegar a detenerse cuando se alcanza la velocidad de la luz, pero no llega a correr hacia atrás porque nada puede viajar más rápido que la luz. Con esa interpretación solo se puede correr más o menos hacia el futuro, pero como un viaje sin retorno. Se puede saltar hacia un futuro lejano gastando un tiempo propio muy pequeño, por lo que no significa haber vivido más tiempo ni existe la opción de recuperar la vida y la realidad que se ha dejado atrás. Eso no es un verdadero salto en el tiempo porque la realidad que se ha dejado atrás también ha pasado para el viajero, pero no se ha dado cuenta porque su actividad propia ha estado casi congelada. El tiempo pasa exactamente igual para todos los observadores aunque algunos ralenticen su actividad y cuenten menos tiempo, no es un verdadero salto en el tiempo.

Al contrario, el tiempo en relatividad general es una dirección más en un espacio de 4 dimensiones, y eso cambia radicalmente su significado. Cualquier observador ocuparía en cualquier instante una posición concreta en el espacio-tiempo, y teóricamente debería ser libre para moverse en cualquiera de las 4 direcciones, incluso atrás en el tiempo. Pero existen restricciones que hasta la fecha son insuperables, ya que todo observador se ve forzado a moverse en la dirección positiva del eje temporal. Se puede mover con libertad en las tres direcciones del espacio pero sigue siendo arrastrado por una corriente que se lleva por igual a todos los observadores, aunque algunos ralenticen su actividad y cuenten menos tiempo, como en relatividad especial.

No obstante, no deja de ser cierto que la relatividad general define a la realidad con 4 dimensiones, y en ese sentido es cierto que en el mismo espacio está el pasado, el presente y el futuro, pero es evidente que el espacio-tiempo debe ser muy grande y no somos capaces de llenarlo ni con el pasado ni con el futuro, y eso es mucho espacio indefinido, una teoría demasiado grande para un presente tan pequeño.

Demasiadas especulaciones revolotean en torno a la relatividad general, porque es muy poco lo que realmente nos puede decir. Si nos atenemos a las soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein, tenemos que contentarnos con la solución de Schwarzschild para una masa esférica y homogénea, y no hay nada más hasta la fecha. En esa solución se fundamentan los agujeros negros y la gravedad del Sol, por ejemplo. Hablar de la forma del Universo, del significado del tiempo, o de la expansión de un espacio de 4 dimensiones en el que no vemos nada, es llevar las extrapolaciones demasiado lejos.

Por lo tanto, hablemos de lo que sí dice la relatividad general:

En relatividad especial entendemos como sistema inercial el que está en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante, sin aceleración. Todos los observadores inerciales pueden deducir los mismos resultados en virtud de las transformaciones de Lorentz, por lo que decimos que todos los sistemas inerciales son equivalentes y en todos aplicamos las mismas leyes, tal como resume el primer postulado de la relatividad especial, pero de forma incompleta porque no sirve con sistemas acelerados. Einstein reconocía la restricción y pensaba en la forma de ampliar la relatividad al caso más general, con aceleraciones, pero sin reconocer todavía que al principio del camino se toparía con la gravedad.

Cuenta la historia que la idea más feliz de su vida se le pasó por la cabeza imaginando a un observador en caída libre, pues era evidente que sin referencias externas no podría distinguir ninguna fuerza ni acción externa, exactamente igual que un observador inercial en la relatividad especial. Si fuera posible extender a ese caso el concepto de sistema inercial, entonces estaría relacionado con la aceleración de la gravedad. Según sus propias palabras, esa idea tan simple le impresionó profundamente y le impulsó hacia una teoría de la gravitación.

Desde Galileo ya se conocía la “coincidencia” entre masa gravitatoria y masa inercial, y esa condición le sirvió a Einstein para formular su principio de “equivalencia”, que es el fundamento de la relatividad general. Mientras que Galileo entendía que se trataba de una coincidencia por causas desconocidas, Einstein necesitaba tratarlo como equivalencia física a todos los efectos, porque de ello dependía la relación entre sistemas inerciales y aceleraciones.

Una masa gravitatoria se mide en función de la fuerza de gravedad, y si se dan iguales condiciones para diferentes cuerpos la fuerza de gravedad es proporcional a la masa. Pero la gravedad es variable con la altura, y muy diferente en la Luna, por ejemplo, de forma que una balanza permite determinar masas por comparación, ya que compensa las variaciones de la gravedad en lugares diferentes, pero exige un patrón de referencia como medida de masas.

Al contrario, una masa inercial exige aplicar una fuerza conocida y medir qué aceleración provoca en el cuerpo, de forma que se calcula como la relación entre fuerza y aceleración. La masa gravitatoria se mide en reposo pero la inercial exige movimiento, y si damos por correcto el principio de equivalencia de Einstein, estamos reconociendo que allí donde haya una fuerza de gravedad, un peso, también hay aceleración aunque no exista movimiento.

Sin duda esa es la mayor objeción achacada a la relatividad general, pero aquí no vamos a profundizar en el asunto, como tampoco vamos a defender a la relatividad general como teoría liberada de toda sospecha. Lo que se ha demostrado es que la masa inercial y la gravitatoria coinciden por causas que todavía se desconocen, como pensaba Galileo, y en ese desconocimiento se sustenta el principio de equivalencia de Einstein. Es precisamente un principio porque su demostración es experimental, no es algo que se deduce de unas causas bien reconocidas… ¿Y cómo se ha demostrado experimentalmente?

Se conocen 4 fuerzas fundamentales, y de ellas la gravedad es la única que permite determinar la masa en perfecta correspondencia con la inercia de los cuerpos. Si la gravedad fuese como una fuerza eléctrica, dos cuerpos con diferente masa inercial caerían con diferentes velocidades, porque costaría menos acelerar al cuerpo más ligero si tuvieran la misma carga eléctrica. Se puede modificar la carga eléctrica para una misma masa inercial, pero no se puede cambiar la masa gravitatoria si no cambia en la misma proporción su masa inercial. Su coincidencia es por lo tanto un principio bien confirmado que relaciona profundamente la gravedad y la inercia, aunque no se puede asegurar por qué.

Para Einstein, el concepto de sistema inercial ya no es rigurosamente el que carece de aceleración, también lo es el afectado por una fuerza gravitatoria si no existen restricciones en su movimiento, es decir, el que se encuentra en caída libre. Por lo tanto también son inerciales los sistemas en órbita puesto que son afectados por una gravedad sin restricciones. Están en caída libre aunque no terminen cayendo, debido a su inercia y a la curvatura de la Tierra.

Pero Einstein pronto se dio cuenta de que un sistema en caída libre no era exactamente un sistema inercial, porque un observador se daría cuenta de la presencia de gravedad si realiza el experimento de la figura. Durante la caída, dos objetos tendrían que disminuir su distancia porque sus trayectorias no serían paralelas, apuntarían al centro de la Tierra y eso probaría la presencia de gravedad. El sistema no sería inercial porque se puede reconocer que hay aceleración, pero esto hizo pensar a Einstein en un espacio curvado como la superficie de la Tierra, en la que dos movimientos inerciales y paralelos terminarían coincidiendo en un punto.

Las trayectorias inerciales tampoco serían rectas en un espacio curvado de 4 dimensiones, pero si la curvatura es muy pequeña no podríamos haber notado la diferencia, lo mismo que la Tierra parece una superficie plana si estamos pegados a ella. En los espacios curvados, las trayectorias inerciales están curvadas como los meridianos en la superficie terrestre, pero las curvaturas son debidas a la geometría del espacio y no a la presencia de fuerzas. Por lo tanto, un observador inercial podría medir aceleraciones como sucedía con los dos objetos en caída libre, acercándose como si una fuerza los mantuviera ligados aunque tal fuerza no existiera. Como se ha dicho al principio, las trayectorias más cortas en espacios curvados se llaman “geodésicas”, no son rectas, y son las que seguiría un observador inercial.

Evidentemente, la razón por la que la Tierra y la Luna se orbitan mutuamente ya no sería una fuerza sino la curvatura del espacio-tiempo. La gravedad sería entonces una cuestión de simple geometría, pero tan engañosamente simple que las capacidades matemáticas de Einstein se tensaban hasta el límite sin obtener ninguna recompensa. Por otra parte, la única forma de hacerlo compatible con la relatividad especial era aplicando el principio de equivalencia de forma local, es decir, considerando pequeñas extensiones de espacio-tiempo en las que una curva se aproxima lo suficiente a una recta, y donde una velocidad se puede considerar constante.

El núcleo de la relatividad general es un conjunto de 10 ecuaciones diferenciales que relacionan la masa y energía por un lado, y la geometría del espacio-tiempo por el otro lado. Estas relaciones definen la forma en que la masa y energía transforman la geometría del espacio-tiempo, propagándose a la velocidad de la luz, de lo que se deducen las ondas gravitacionales. La forma resumida de las ecuaciones se puede ver a continuación:

Predicciones de la relatividad general:

En el apartado dedicado a la indomable gravedad ya se comentaba que las órbitas de los planetas mantienen su orientación con la gravedad de Newton, pero no es así con la relatividad general. La predicción correcta en el adelanto del perihelio de Mercurio fue la principal confirmación de la teoría, coincidiendo con los 43 segundos de arco por siglo que no se podían explicar mediante la gravedad newtoniana, y con un error limitado a solo 0.5 segundos de arco por siglo.

Newton pensaba que la luz estaba compuesta por partículas, de forma que debería curvar su trayectoria cuando pasa cerca de algún objeto muy masivo. Los cálculos arrojan una desviación de 0.87 segundos de arco para una partícula que viajara con la velocidad de la luz y pasara rozando la superficie del sol. Nótese que la masa de una partícula es indiferente comparada con la masa del Sol, arrojando en la práctica el mismo resultado que se obtendría con cuerpos mucho mayores que una partícula. Einstein calculó de forma aproximada lo que debería desviarse un fotón en base a la relatividad general, llegando por error al mismo resultado de 0.87 segundos de arco. Finalmente, una solución más aproximada predecía 1.75 segundos de arco, exactamente el doble de lo que se podía esperar por Newton.

La comprobación ha sido hecha gracias a un eclipse solar y la coincidencia de que la Luna cubre exactamente la figura del Sol. Las estrellas que deberían estar alineadas con el contorno, o muy próximas, eran visibles en el eclipse pero con una desviación hacia fuera que parece confirmar la predicción de Einstein. No obstante, obtener tanta exactitud partiendo de una placa fotográfica es muy difícil y no faltaron desconfianzas al respecto, pero diferentes experimentos posteriores, más precisos, parecen ser una prueba definitiva.

La diferencia fundamental entre una partícula y un fotón es que un fotón no tiene masa, por lo que tampoco se debería desviar su trayectoria si nos basamos en la gravedad de Newton. Según la relatividad general, la desviación esperada no solo depende de la masa sino también de la curvatura del espacio-tiempo, y en el caso de la luz lo decisivo es la curvatura. Eso quiere decir que la luz que nos llega de lejanos lugares del Universo debería curvar su trayecto cuando pasa cerca otras galaxias, produciendo una distorsión de imagen muy similar a las lentes ópticas. El efecto de la distorsión de la luz debido a la curvatura del espacio (pura gravedad en relatividad general) se conoce como efecto de lente gravitatoria, y actualmente se considera completamente verificado.

Determinados objetos muy luminosos (como los cuásares) llegan a verse duplicados, entendiendo que su luz se desvía por ambos lados de una galaxia menos luminosa. En algún caso la galaxia no era suficientemente luminosa para ser detectada pero se descubrió más tarde con telescopios más potentes. Cuando el cuásar, la galaxia y la Tierra están perfectamente alineados, se supone que la luz del cuásar debería bordear a la galaxia formando un anillo a su alrededor. Uno de tales anillos fue visto en 1985 y parece confirmar el efecto esperado.

Otra predicción interesante de Einstein es que la luz debería perder energía para escapar de la gravedad de la estrella que la emite. Puesto que la energía de la luz es proporcional a su frecuencia, ésta debería disminuir con el correspondiente aumento de la longitud de onda, de forma que la luz se vería más roja. El fenómeno es demasiado débil para verlo en el Sol, pero se ha verificado con la compañera de la estrella Sirio, de masa similar a la del Sol pero tan pequeña que su gravedad se calcula en unas 30 veces mayor a la del Sol.

Por último, la predicción de los agujeros negros también se debe a la relatividad general, y actualmente se reconoce su existencia en los centros de grandes galaxias, donde las estrellas giran demasiado rápido en torno a un aparente vacío.

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